konsep Dasar Aljabar

Pemecahan Masalah Matematika 2 – 1
KONSEP DASAR ALJABAR
Clara Ika Sari
Pendahuluan
ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti
persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta
mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus
dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu
menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika
maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini
terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan
linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana
untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang
dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui
bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang
telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus
Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama
masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari.
Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan
tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu
subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah
mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui
seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda
belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada
subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan
kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah
ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang
tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.
Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.
P
Unit 2
2 – 2 Unit 2
Subunit 1
Persamaan
ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana
menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep
matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan
penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang
aljabar.
Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas
mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut
antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut
juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk
menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas
mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili
sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y,
a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan
diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan
variabel tersebut.
Contoh :
Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau disingkat
menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif,
yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel,
yaitu 2 × a = a × 2 = 2a.
Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan
banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 × a = 2a
disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat
variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut
disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik
variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga.
Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan
koefisien dari ab adalah 4.
S
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 3
Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian
antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut.
Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y.
Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih maka untuk
menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif.
Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.
Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika
suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih
tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel
yang berbeda.
Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya.
Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti
pada bilangan.
Contoh :
a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y
b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t
Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif,
assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi
hitung pada suku aljabar.
Contoh :
a. u × v = v × u = uv
b. a × (b × c) = (a × b) × c
c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu
Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan
berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku
aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas.
1. Jika diberikan x2 y + 2xy + ab − 6 maka tentukanlah
a. koefisien dari x2 y dan xy
b. konstanta yang ada pada x2 y + 2xy + ab − 6
c. suku aljabar yang ke 3
2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah.
2 – 4 Unit 2
a. 3 × p
b. y × 10
c. m × 6
d. n × 1
e. 2a × 3b
f. 8ab + 6ba
g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl
Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas.
1. a. Koefisien dari x2 y adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2.
a. Konstanta yang ada pada x2 y + 2xy + ab − 6 adalah 6.
c. Suku aljabar yang ke 3 dari x2 y + 2xy + ab − 6 adalah ab.
2. a. 3 × p = 3p
b. y × 10 = 10y
c. m × 6 = 6m
d. n × 1 = 1n = n
Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan
menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap
variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri.
e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b)
= (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif
= 6ab
f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif
= (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif
= 14ab
h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl
= (7 + 8) gh + (12 – 4)gl
= 15gh + 8gl
Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika
tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan.
Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2
Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan.
Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 5
bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15
menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut
persamaan .
Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka
yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi
dengan tanda ”=”.
Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika
kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut
penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti
menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti
dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar.
Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan
kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat
tersebut.
Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada
variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang
berbentuk ax + b = 0 dengan a,b ∈ Rdi mana R adalah himpunan bilangan real dan
a ≠ 0 .
Contoh :
a. x + 5 = 9
b. 2x + 7 = 11
c. 7
3
x =
d. 7x – 4 = 4x + 17
e. 2(4x +1) = 18
Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai
x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu
terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini.
Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu
bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari
persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan
suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan
itu.
Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut?
Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian
bandingkan dengan contoh berikut ini.
2 – 6 Unit 2
Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita
tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan
menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan
menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan
menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 × 5 =
10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya.
Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua
ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.
1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol.
Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan
keduanya mempunyai penyelesaian yang sama.
Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh
yang telah diberikan di atas.
a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut.
x + 5 – 5 = 9 – 5 Kedua ruas dikurangi dengan 5
x = 4
Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4.
b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11.
2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7
2x = 4
2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2
(2 : 2)x = 2
x = 2
Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2.
Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda
selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian
persamaan linear berikut ini.
a. Penyelesaian persamaan linear 7
3
x = adalah sebagai berikut.
3
x × 3 = 7 × 3 Kedua ruas dikalikan 3
x = 21
Jadi penyelesaian persamaan linear 7
3
x = adalah x = 21.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 7
b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 = 4x + 17
adalah sebagai berikut.
7x – 4 = 4x + 17
7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4
7x = 4x + 21
7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x
(7 – 4 )x = 21
3x = 21
3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3
(3 : 3)x = 7
x = 7
c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah
sebagai berikut.
2(4x + 1) = 18
8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif
8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2
8x = 16
8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8
(8 : 8)x = 2
x = 2
Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2.
Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan
persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan
penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0
dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 .
Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0 , x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita
mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu
kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan
bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 =
0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka
salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan
bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ”
2 – 8 Unit 2
berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya
sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit
6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.
Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian
persamaan kuadrat berikut ini.
a. 4×2 − 32x = 0
b. 7×2 = −84x
c. 24
3
2 2
x =
d. x2 + 5x + 6 = 0
Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas.
a. Persamaan kuadrat 4×2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan
menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor
nol akan diperoleh
4x = 0 atau x − 8 = 0
Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat
4×2 − 32x = 0 adalah x = 0 atau x = 8
b. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat
7×2 = −84x sebagai berikut.
7×2 + 84x = −84x + 84x Kedua ruas ditambah dengan 84x
7x(x +12)= 0 Menggunakan sifat distributif
7x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol
Jadi penyelesaian persamaan 7×2 = −84x adalah x = 0 atau x = −12 .
Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan
kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian
berikut ini.
a. Penyelesaian persamaan kuadrat 24
3
2 2
x = adalah sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 9
3
2×2 × 3 = 24 × 3 Kedua ruas dikalikan dengan 3
2×2 = 72
2
72
2
2 2
x = Kedua ruas dibagi dengan 2
x2 = 36
x = −6 atau x = 6
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 24
3
2 2
x = adalah x = −6 atau x = 6 .
Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan x2 = 36 yaitu x = −6
atau x = 6. Jadi ingatlah bahwa persamaan x2 = a akan mempunyai dua nilai x yaitu
x = − a dan x = a . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan
penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat.
b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ? Untuk
memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat
peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1
berikut ini.
(a) (b) (c)
Gambar 2.1
Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan
banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk
menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b)
dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.
Gambar 2.2
2 – 1 0 Unit 2
Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru
seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.
Gambar 2.3
Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x +
2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat
x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 . Dengan demikian
untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan
menggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 . Jadi
penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3 .
Jadi secara umum, jika 1 x dan 2 x merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat
maka persamaan kuadrat tersebut adalah ( ) 0 1 2 1 2
x2 + x + x x + x x = . Cara
menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan cara menfaktorkan.
Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 tidak dapat
diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini.
a
x b b ac
2
− ± 2 − 4
=
Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 dengan menggunakan
rumus di atas.
Dari persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b
dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 11
4,2122 atau 0,7122
4
atau 7 9,8489
4
7 9,8489
4
7 9,8489
4
7 97
4
7 49 48
2.2
( 7) ( 7)2 4.2.( 6)
= = −

=
+
=
±
=
±
=
± +
=
− − ± − − −
=
x x
x x
x
x
x
x
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 adalah x = 4,2122 atau x = -
0,7122.
2 – 1 2 Unit 2
Rangkuman
Tes Formatif 1
Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu
jawaban yang Anda anggap benar.
1. Pengertian koefisien adalah …….
A. suku aljabar yang tidak memuat variabel
B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1
C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar
D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel
2. Jika diberikan persamaan 8 0
3
x2 + 2x − = maka koefisien dari x adalah …….
Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang
bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel
merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar
menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik
yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel,
dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta.
Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang
menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi
dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai
pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk
menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada
variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah
aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah
sebagai berikut.
a. Dengan aturan faktor nol
b. Dengan menggunakan akar kuadrat
c. Dengan menfaktorkan
d. Dengan menggunakan rumus
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 13
A. -8
B.
3
2
C. 1
D. 8
3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah …….
A. 2 + 5 = 7
B. 7 15
2
x + =
C. 5x(x −1) = 6
D. 2×2 − 2 = 0
4. Penyelesaian persamaan 15 − 2 = 3
x
adalah …….
A.
3
x = 1
B. x = 3
C.
3
x = 13
D. x = 6
5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian
3
x = − 1 adalah…….
A.
x x
2 + 3 = 1
B.
x x
2 − 3 = 1
C. 3
3
1− 1 =
x
D. 3
3
1+ 1 =
x
2 – 1 4 Unit 2
6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.
x2 − 81 = 0
x2 = 81
x = −9 atau x = 9
Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan …….
A. aturan faktor nol
B. akar kuadrat
C. cara memfaktorkan
D. rumus
7. Penyelesaian persamaan x(x −1)= 12 adalah …….
A. x = 12
B. x = 0 atau x = 1
C. x = −3 atau x = 4
D. x = 12 atau x = 13
8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = 2 adalah …….
A. x(x + 4) = −4
B. x(x − 4)= −4
C.
2
1 +1 = 1
x
D.
2
1 −1 = 1
x
9. Penyelesaian persamaan kuadrat 3 0
2
1
2
1 x2 + x − = adalah …….
A. x = −1 atau x = 6
B. x = 1 atau x = −6
C. x = −2 atau x = 3
D. x = 2 atau x = −3
10. Penyelesaian persamaan kuadrat x2 − 4x + 2 = 0 adalah …….
A. x = −1
B. x = −2 atau x = 2
C. x = 0 atau x = 4
D. x = 2 + 2 atau x = 2 − 2
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci
jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar
minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda
mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari
80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum
Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 15
Subunit 2
Pertidaksamaan
ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan
penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear
dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan
penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan.
Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka
yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan.
Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤” atau ”<”. Kita
akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu.
Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah
pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya sama dengan 1.
Contoh : x + 3 > 5 , 2x − 6 ≤ 11, dan lain sebagainya.
Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian
pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari
konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.
Gambar 2.4
Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh
Gambar 2.5
Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6
dikurangi dengan 2 maka diperoleh 10 – 2 = 8
M
2 – 1 6 Unit 2
dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi
dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan
di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan
bilangan yang sama.
Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh
Gambar 2.6
Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh
10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas
pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan
mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika
kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara,
apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama.
Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh
10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas
pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan
merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut
dari ”<” menjadi ”>” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”. Demikian juga
berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama,
akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari
pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah
Anda menjelaskan konsep ini.
Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear.
Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan
a. x + 3 > 7
b. x + 8 ≤ 6
c. 2
3
x ≤
d. 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2)
Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 17
a. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3 > 7
x + 3 − 3 > 7 − 3 Kedua ruas dikurangi dengan 3
x > 4
Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang kurang
dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan {x; x > 4}. Akan lebih jelas jika
penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.
Gambar 2.7
Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran
tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak
sama dengan 4 (x ≠ 4).
b. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 8 ≤ 6 .
x + 8 − 8 ≤ 6 − 8 Kedua ruas dikurangi dengan 8
x ≤ −2
Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah {x; x ≤ −2}. Jika penyelesaian
ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh
Gambar 2.8
Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran
diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x + 8 ≤ 6 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu
sendiri.
c. Penyelesaian pertidaksamaan linear 2
3
x ≤ .
3
x × 3 ≤ 2 × 3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3)
x ≤ 6
2 – 1 8 Unit 2
Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 2
3
x ≤ adalah {x; x ≤ 6}. Jika
penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.9
d. Penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2) .
3 − 2x + 8 > 2 + 3x − 6 (Menggunakan sifat distributif)
11− 2x > 3x − 4
11−11− 2x > 3x − 4 −11 (Kedua ruas dikurangi dengan 11)
− 2x > 3x −15
− 2x − 3x > 3x − 3x −15 (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)
− 5x > −15
5
15
5
5


<

− x (Kedua ruas dibagi dengan -5)
x < 3
Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2) adalah
{x; x < 3}.
Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan
kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada
variabelnya.
Contoh : x2 + 6x + 5 > 0
Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas.
Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh
(x +1)(x + 5) > 0
Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga
diperoleh ( )( )05 1 = + + x x . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( ) 0 1 = + x
atau (x + 5)= 0 sehingga x = −1 atau x = −5 . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada
garis bilangan yang dibatasi oleh nilai x = −1 dan x = −5 seperti gambar berikut ini.
Gambar 2.10
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 19
Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan
x2 + 6x + 5 > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak pada
masing-masing daerah ke pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 .
Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh (− 6)2 + 6(−6) + 5 = 5 maka semua bilangan
yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam
pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya
untuk bilangan -2 diperoleh (−2)2 + 6(−2) + 5 = −3 maka semua bilangan yang
terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam
pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk
bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi
pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 adalah semua bilangan yang terletak pada daerah
yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan
x2 + 6x + 5 > 0 adalah himpunan {x; x < −5 atau x > −1}. Penyelesaian tersebut
dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.
Gambar 2.11
2 – 2 0 Unit 2
Latihan
Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan
pembahasan di bawahnya.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang
dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.
1. 2×2 > 8
2. − 2×2 + 32 ≤ 0
3. − x2 − 4x + 5 >0
4. x2 + 6x + 9 ≥0
Pedoman Jawaban Latihan
Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda
mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan
bilangan 2 sehingga diperoleh x2 > 4 . Kemudian kita anggap
pertidaksamaan tersebut adalah persamaan x2 > 4 sehingga dengan aturan
penarikan akar kuadrat diperoleh x = −2 dan x = 2 . Selanjutnya kita uji
bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 2×2 > 8
dengan memasukkan bilangan x = −3 , x = 0, dan x = 3 ke pertidaksamaan
2×2 > 8 sebagai berikut.
18 8
2( 3) 8
2 8
2
2
>
− >
x >
Pernyataan benar
0 8
2(0) 8
2 8
2
2
>
>
x >
Pernyataan salah
18 8
2(3) 8
2 8
2
2
>
>
x >
Pernyataan benar
Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan
2×2 > 8 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan
kata lain himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2×2 > 8 adalah
{x ; x < −2 atau x > 2} dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai
berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 21
Gambar 2.12
Anda perhatikan lingkaran pada nilai x = −2 dan x = 2 berlubang. Hal ini
menyatakan bahwa nilai x = −2 dan x = 2 tidak memenuhi pertidaksamaan
2×2 > 8.
2. Kedua ruas pertidaksamaan − 2×2 + 32 ≤ 0 dikurangi dengan bilangan 32
sehingga diperoleh − 2×2 ≤ −32 . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2.
Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan
akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh x2 > 16. Selanjutnya
pertidaksamaan x2 >16 dianggap persamaan x2 = 16 sehingga diperoleh
nilai x = −4 dan x = 4 . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai
x = −5 , x = 0, dan x = 5 sebagai berikut.
18 0
2( 5) 32 0
2 32 0
2
2
− ≤
− − + ≤
− x + ≤
Pernyataan benar
32 0
2(0) 32 0
2 32 0
2
2

− + ≤
− x + ≤
Pernyataan salah
18 0
2(5) 32 0
2 32 0
2
2
− ≤
− + ≤
− x + ≤
Pernyataan benar
Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penyelesaian
pertidaksamaan − 2×2 + 32 ≤0 adalah {x ; x ≤ −4 atau x ≥ 4} dan jika
dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.13
3. Pertidaksamaan − x2 − 4x + 5 >0 dianggap menjadi persamaan
− x2 − 4x + 5 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh
( )( )
1 atau 5
1 atau 5
1 0 atau 5 0
1 5 0
2 4 5 0
= = −
− = − = −
− + = + =
− + + =
− − + =
x x
x x
x x
x x
x x
Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai x = −6, x = 0,
dan x = 2 ke dalam pertidaksamaan − x2 − 4x + 5 > 0 sebagai berikut.
( ) ( )
7 0
36 24 5 0
6 4 6 5 0
4 5 0
2
2
− >
− + + >
− − − − + >
− x − x + >
( ) ( )
5 0
0 4 0 5 0
4 5 0
2
2
>
− − + >
− x − x + >
( ) ( )
7 0
4 8 5 0
2 4 2 5 0
4 5 0
2
2
− >
− − + >
− − + >
− x − x + >
2 – 2 2 Unit 2
Pernyataan salah Pernyataan benar Pernyataan salah
Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan
− x2 − 4x + 5 > 0 adalah {x ; − 5 < x < 1} dan jika dinyatakan dalam garis
bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.14
4. Pertidaksamaan x2 + 6x + 9 ≥ 0 dianggap sebagai persamaan x2 + 6x + 9 = 0
sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh
( )( )
3
3 0
3 3 0
2 6 9 0
= −
+ =
+ + =
+ + =
x
x
x x
x x
Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai x = 0 pada
pertidaksamaan x2 + 6x + 9 ≥ 0 sebagai berikut.
( )
Pernyataan benar
9 0
0 6 0 9 0
6 9 0
2
2

+ + ≥
x + x + ≥
Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan
x2 + 6x + 9 ≥ 0 adalah {x ; x ≥ −3} atau penyelesaian pertidaksamaan
x2 + 6x + 9 ≥ 0 dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.
Gambar 2.15
Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang
disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda
menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada
subunit ini. Selamat mengerjakan.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 23
Rangkuman
Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka
yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan.
Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”<”, ”>”, ”≤”, atau ”≥”.
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat
tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat
dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan
linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan
atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang
ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ”<” berubah menjadi ”>”, tanda
”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat
disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat
adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya.
Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan
pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan
nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya untuk
menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut,
dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada
masing-masing daerah pada garis bilangan.
Tes Formatif 2
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah
satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Pertidaksamaan linear adalah …….
A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta
B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel
C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada
variabelnya
D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada
variabelnya
2 – 2 4 Unit 2
2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah …….
A.
x 5x
2
2 3 >

B.
2 5 ≤ 0

x
x
C.
6x(2x − 3)< 1
D.
x
x
x 3
2
3 ≥


3. Jika pertidaksamaan linear 1− 2x > 5 dikalikan dengan bilangan -3 maka
diperoleh pertidaksamaan …….
A. − 6x − 3 > −15
B. − 6x − 3 < −15
C. 6x − 3 > −15
D. 6x − 3 < −15
4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan 7 6 ≤ 5

x
x
adalah …….
A. {x; x ≥ 3}
B. {x; x ≤ 3}
C.
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
≤ ≤
7
x; 0 x 11
D.
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧ ≤

7
x; x 0 atau x 11
5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan oleh
garis bilangan berikut adalah …….
A. x − 8 < 4x +16 B. x − 8 > 4x +16
C. x − 8 ≥ 4x +16 D. x − 8 ≤ 4x +16
6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 1
2
7 1 < −
+ x x ditunjukkan oleh
……..
A.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 25
B.
C.
D.
7. Penyelesaian pertidaksamaan 3×2 + 5x > 2 adalah …….
A.
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
− < <
3
x; 2 x 1
B.
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
< − >
3
x; x 2 atau x 1
C. {x; −1 < x < 2}
D. {x; x < −1 atau x > 2}
8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang
ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah …….
A. ( )( )2 x − 5 x − 6 ≥ B. (x − 5)(x − 6) < 2
C. (x − 4)(x − 7)≤ 2 D. (x − 4)(x − 7) < 2
9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan
x2 −10x > 4x − 49 adalah …….
A.
B.
C.
D.
10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 + 6x − 2 ≤ 0 adalah …….
A. {x ; – 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11} C. {x ; x ≤ −3 − 11 atau x ≥ −3 + 11}
C. {x ; 3 − 22 ≤ x ≤ 3 + 22} D. {x ; x ≤ 3 − 22 atau x ≥ 3 + 22}
2 – 2 6 Unit 2
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci
jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar
minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda
mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari
80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum
Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 27
Subunit 3
Sistem Persamaan Linear
alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang paling
sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah.
Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari
materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini.
Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp. 12.500,-.
Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-. Berapa
harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas,
kita buat tabel berikut.
Tabel 2.1
Banyak buku Banyak pensil Harga
Ari 10 5 Rp. 12.500,-
Dita 5 2 Rp. 6.000,-
Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah pensil.
Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut.
5 2 6000
10 5 12500
+ =
+ =
x y
x y
Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan pangkat
tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu
disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear
yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan permasalahan di
atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari
permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari
lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitannya,
sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk
membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau
bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“. Jadi dari
permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah yaitu
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
5 2 6000
10 5 12500
x y
x y
D
2 – 2 8 Unit 2
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
2 2 2
1 1 1
a x b y c
a x b y c
dengan 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c , dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan
dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan.
Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal
ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
5 2 6000
10 5 12500
x y
x y
Misalkan nilai x = p dan y = q yang memenuhi sistem persamaan linear di atas,
artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka
diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis sebagai pasangan
berurutan (p,q), pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem persamaan
linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
5 2 6000
10 5 12500
x y
x y
adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan penyelesaian
dengan cara memasukkan nilai x = 1000 dan y = 500 ke dalam sistem persamaan
linear sebagai berikut.
⎩ ⎨ ⎧
+ = + =
+ = + =
5(1000) 2(500) 5000 1000 6000 benar
10(1000) 5(500) 10000 2500 12500 benar
Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan yang benar,
maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi menyelesaikan
sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai x
dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu:
1. ada tidaknya penyelesaian
2. metode penyelesaian
3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut.
Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem persamaan
linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan dijelaskan bahwa
manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem
persamaan.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 29
1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan
lain dalam sistemnya.
2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol.
3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.
Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penyelesaian
sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya.
Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear
dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah
dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai
berikut.
1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian nyatakan x
sebagai y atau sebaliknya.
2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu ke
persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y.
Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode
substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini.
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini
dengan metode substitusi.
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ = −
2 1
8
x y
x y
Penyelesaian :
Kita pilih persamaan x + y = −8, kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga
diperoleh x = −8− y. Persamaan x = −8 − y kita masukkan ke dalam persamaan
2x − y = −1 sehingga diperoleh
5
3 15
3 1 16
16 2 1
2( 8 ) 1
2 1
= −
− =
− = − +
− − − = −
− − − = −
− = −
y
y
y
y y
y y
x y
Dari sini diperoleh
3
8 5
8 ( 5)
8
= −
= − +
= − − −
x = − − y
2 – 3 0 Unit 2
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ = −
2 1
8
x y
x y
adalah (-3,-5).
Latihan 1
Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih
menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah
Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang
ada.
Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi.
a.
⎩ ⎨ ⎧
+ =
− =
2 9
2 3 4
x y
x y
b.
⎩ ⎨ ⎧
− =
− =
3 7
2 3 7
x y
x y
Pedoman Jawaban Latihan 1
a. Dari persamaan x + 2y = 9 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh
x = 9 − 2y . Persamaan x = 9 − 2y disubstitusikan ke dalam persamaan
2x − 3y = 4 sehingga diperoleh
2
7 14
7 4 18
18 4 3 4
2(9 2 ) 3 4
2 3 4
=
− = −
− = −
− − =
− − =
− =
y
y
y
y y
y y
x y
Selanjutnya nilai y = 2 disubstitusikan ke persamaan x = 9 − 2y sehingga
diperoleh
5
9 4
9 2(2)
9 2
=
= −
= −
x = − y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
− =
2 9
2 3 4
x y
x y
adalah (5,2) .
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 31
b. Dari persamaan 3x − y = 7 , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh y = 3x − 7 .
Persamaan y = 3x − 7 disubstitusikan ke persamaan 2x − 3y = 7 sehingga
diperoleh
2
7 14
7 7 21
2 9 21 7
2 3(3 7) 7
2 3 7
=
− = −
− = −
− + =
− − =
− =
x
x
x
x x
x x
x y
Selanjutnya nilai x = 2 disubstitusikan ke persamaan y = 3x − 7 diperoleh
1
6 7
3(2) 7
3 7
= −
= −
= −
y = x −
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
− =
3 7
2 3 7
x y
x y
adalah (2,−1) .
Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear
dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah
berikut ini.
1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y.
2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x.
Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut.
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan
metode eliminasi.
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ = −
2 1
8
x y
x y
Penyelesaian :
Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas, kita akan
menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga diperoleh
nilai x sebagai berikut.
2 – 3 2 Unit 2
+
= −
= −
− = −
+ = −
3
3 9
2 1
8
x
x
x y
x y
Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan cara sebagai
berikut.
2 1
8
− = −
+ = −
x y
x y
1
2
×
×
Sehingga diperoleh

= −
= −
− = −
+ = −
5
3 15
2 1
2 2 16
y
y
x y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5).
Latihan 2
Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan
metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban
Anda dengan pembahasan yang ada.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode
eliminasi.
a.
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
4 3 6
2 3 2
x y
x y
b.
⎩ ⎨ ⎧
− − =
+ − =
2 6 0
2 4 5 0
x y
x y
c.
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ =
3 4 11
4 5 6
x y
x y
Pedoman Jawaban Latihan 2
a. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
4 3 6
2 3 2
x y
x y
adalah sebagai berikut.

=
=
+ =
+ =
2
2 4
2 3 2
4 3 6
x
x
x y
x y
2 3 2
4 3 6
+ =
+ =
x y
x y
2
1
×
×
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 33

= −
− =
+ =
+ =
3
2
3 2
4 6 4
4 3 6
y
y
x y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
4 3 6
2 3 2
x y
x y
adalah ⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
3
2, 2 .
b. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− − =
+ − =
2 6 0
2 4 5 0
x y
x y
adalah sebagai berikut.
2 6 0
2 4 5 0
− − =
+ − =
x y
x y
2
1
×
×
+
= − = −
= −
− − =
+ − =
4
4 1
4
17
4 17
2 4 12 0
2 4 5 0
x
x
x y
x y
2 6 0
2 4 5 0
− − =
+ − =
x y
x y
2
1
×
×

= −
= −
+ =
− − =
+ − =
8
7
8 7
8 7 0
2 4 12 0
2 4 5 0
y
y
y
x y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧ −

=
+ − =
2 6 0
2 4 5 0
x y
x y
adalah ⎟⎠

⎜⎝
⎛ − −
8
, 7
4
41 .
c. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ =
3 4 11
4 5 6
x y
x y
adalah sebagai berikut.
3 4 11
4 5 6
− = −
+ =
x y
x y
5
4
×
×
+
= −
= −
− = −
+ =
1
31 31
15 20 55
16 20 24
x
x
x y
x y
3 4 11
4 5 6
− = −
+ =
x y
x y
4
3
×
×

=
=
− = −
+ =
2
31 62
12 16 44
12 15 18
y
y
x y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− = −
+ =
3 4 11
4 5 6
x y
x y
adalah (−1,2).
Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua metode
penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan
kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
2 – 3 4 Unit 2
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− + = −
− =
2 3 4
3 2
x y
x y
.
Penyelesaian :
Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu:
+
=
− = −
− + = −
− =
2
2
2 3 4
3 2
x
x
x y
x y
Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh:
0
3 0
3 2 2
2 3 2
3 2
=
− =
− = −
− =
− =
y
y
y
y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− + = −
− =
2 3 4
3 2
x y
x y
adalah (2,0).
Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian. Contoh
berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud.
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
2 6
2 4 5
x y
x y
.
Penyelesaian :
2 6
2 4 5
+ =
+ =
x y
x y
2
1
×
×

=
+ =
+ =
0 12
2 4 12
2 4 5
x y
x y
Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak ada nilai x dan
y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
2 6
2 4 5
x y
x y
tidak mempunyai penyelesaian.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 35
Rangkuman
Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel
tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah.
Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang mempunyai
hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika
yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan
linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
2 2 2
1 1 1
a x b y c
a x b y c
dengan 1 2 1 2 1 2 a , a ,b ,b , c , dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan
dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai
pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem
persamaan.
1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan
lain dalam sistemnya.
2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol.
3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.
Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear
dua variabel.
Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode
substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus
dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak
mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi sistem
persamaan linear tersebut.
2 – 3 6 Unit 2
Tes Formatif 3
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada
salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ =
9 2 2
3 6 4
x y
x y
dengan
menggunakan metode substitusi.
2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎪ ⎪

⎪ ⎪


− =
+ =
9 2 2
2 6 4
x y
x y
dengan
menggunakan metode eliminasi.
3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
− = −
1,5 0,8 7
0,5 0,6 2
x y
x y
dengan
menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus.
4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨

=
+
=
+
5
3
2
9
2
3
x y
x y
5. Jika diketahui sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧ =
+ + =
3 4 14
2 5 7
x y
x y
, maka tentukan nilai
4x + 7 y .
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci
jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar
minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda
mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda
kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian
yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 37
Kunci Tes Formatif
Kunci Tes Formatif 1
1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga
bilangan ini menyatakan banyaknya variabel.
2. B.
3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat sama
dengan 1.
4. B. Kedua ruas persamaan 15 − 2 = 3
x
dikalikan dengan x sehingga diperoleh
3
15 5
15 3 2
15 2 3
=
=
= +
− =
x
x
x x
x x
5. A.
6. B.
7. C. Persamaan x(x −1) = 12 ekuivalen dengan persamaan x2 − x −12 = 0
sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh
( )( )
3 atau 4
3 0 atau 4 0
3 4 0
= − =
+ = − =
+ − =
x x
x x
x x
8. B. Jika x = 2 dimasukkan ke persamaan x(x − 4) = −4 akan diperoleh
pernyataan yang benar.
9. D. Persamaan 3 0
2
1
2
1 x2 + x − = ekuivalen dengan persamaan
x2 + x − 6 = 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh
( )( )
3 atau 2
3 0 atau 2 0
3 2 0
= − =
+ = − =
+ − =
x x
x x
x x
10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat x2 − 4x + 2 = 0 digunakan
rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = −4, dan
c = 2 sehingga diperoleh
2 – 3 8 Unit 2
2 2
8
2
2 1
2
4 16 8
2
( 4) ( 4) 4.1.2
2
4
2
2
= ±
= ±
± −
=
− − ± − −
=
− ± −
=
a
x b b ac
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah x = 2 + 2 atau
x = 2 − 2 .
Kunci Tes Formatif 2
11. C.
12. A. Pertidaksamaan x 5x
2
2 3 >

mempunyai variabel dengan pangkat
tertinggi sama dengan 1.
13. D.
14. B. Kedua ruas pertidaksamaan 7 6 ≤ 5

x
x dikalikan dengan x sehingga
diperoleh
3
2 6
7 5 6
7 6 5


− ≤
− ≤
x
x
x x
x x
15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan yang
terdapat pada pilihan.
18 ? 24
10 8 ? 4( 10) 16
8 ? 4 16
− −
− − − +
x − x +
Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan
adalah “>” atau “ ≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu
diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “ ≥ ”. Jadi
pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah x − 8 ≥ 4x +16 .
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 39
16. B. Kedua ruas pertidaksamaan 3 1
2
7 1 < −
+
x x dikalikan dengan bilangan 2
diperoleh
3
7 6 2 1
7 1 6 2
< −
− < − −
+ < −
x
x x
x x
17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 adalah:
( )( )0 3 1 2
3 5 2 0
3 5 2
2
2
− + >
+ − >
+ >
x x
x x
x x
Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh
( )( )
2
3
1
3 1 2
3 1 0 2 0
3 1 2 0
= = −
= = −
− = + =
− + =
x atau x
x atau x
x atau x
x x
Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan
penyelesaian dari pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 sebagai berikut.
Ambil nilai x = −3 , x = 0 dan x = 1. Substitusikan nilai-nilai tersebut
ke pertidaksamaan sehingga diperoleh
12 2
27 15 2
3( 3) 5( 3) 2
3 5 2
2
2
>
− >
− + − >
x + x >
Pernyataan benar
0 2
3.0 5.0 2
3 5 2
2
2
>
+ >
x + x >
Pernyataan salah
8 2
3 5 2
3.1 5.1 2
3 5 2
2
2
>
+ >
+ >
x + x >
Pernyataan benar
Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian
pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 adalah himpunan
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
< − >
3
x; x 2 atau x 1 .
18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan
tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan
penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita
masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut.
A. B.
2 – 4 0 Unit 2
( )( )
30 2
( 5)( 6) 2
(0 5)(0 6) 2
5 6 2

− − ≥
− − ≥
x − x − ≥
Pernyataan benar
( )( )
30 2
( 5)( 6) 2
(0 5)(0 6) 2
5 6 2
<
− − <
− − <
x − x − <
Pernyataan salah
Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang
ditunjukkan oleh garis bilangan.
19. D. Pertidaksamaan x2 −10x > 4x − 49 ekuivalen dengan x2 −14x + 49 > 0 .
Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka
diperoleh x2 −14x + 49 = 0 . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut
diperoleh
( )( )
7
7 0
7 7 0
=
− =
− − =
x
x
x x
Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang
bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut.
Diambil x = 0 sehingga
0 49
2 10 4 49
> −
x − x > x −
Pernyataan benar
Diambil x = 8 sehingga
x2 −10x > 4x − 49
(8)2 −10(8) > 4(8) − 49
64 − 80 > 32 − 49
−16 > −17
Pernyataan benar
Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x2 −10x > 4x − 49
adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke
dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak
menggunakan tanda sama dengan.
20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan x2 + 6x − 2 ≤ 0 sebagai persamaan
x2 + 6x − 2 = 0 diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh
a = 1, b = 6 , dan c = −2 sehingga
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 41
3 11
44
2
3 1
2
6 36 8
2
6 6 4.1.( 2)
2
4
2
2
= − ±
= − ±
− ± +
=
− ± − −
=
− ± −
=
a
x b b ac
Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan
− 3 + 11 dan − 3 − 11 , misalnya x = 2 yang disubstitusikan ke
pertidaksamaan x2 + 6x − 2 ≤ 0 diperoleh 14 ≤ 0 yang merupakan
pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut
adalah {x ; − 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11}.
Kunci Tes Formatif 3
21. Dari persamaan 3x + 6y = 4, variabel x dinyatakan dalam y sehingga
diperoleh 3x = 4 − 6y . Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan
9x − 2y = 2 sehingga diperoleh
2
1
20
10
20 10
20 2 12
12 18 2 2
3(4 6 ) 2 2
3(3 ) 2 2
9 2 2
=


=
− = −
− = −
− − =
− − =
− =
− =
y
y
y
y y
y y
x y
x y
Selanjutnya
2
y = 1 disubstitusikan ke persamaan 3x = 4 − 6y sehingga
diperoleh
2 – 4 2 Unit 2
3
1
3 4 3
2
3 4 6 1
3 4 6
=
= −
⎟⎠

⎜⎝
= − ⎛
= −
x
x
x
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ =
9 2 2
3 6 4
x y
x y
adalah ⎟⎠

⎜⎝

2
, 1
3
1 .
22. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎪ ⎪

⎪ ⎪


− =
+ =
9 2 2
2 6 4
x y
x y
dengan menggunakan
metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi
variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut.
9 2 2
2 6 4
− =
+ =
x y
x y
x 3
x 1
Diperoleh
+
= =
=
=
− =
+ =
2,9
10
29
29 10
29 10
27 6 6
2 6 4
x
x
x
x y
x y
9 2 2
2 6 4
− =
+ =
x y
x y
x 2
x 9
Diperoleh

=
=
=
− =
+ =
32
58
32 58
58 32
18 4 4
18 54 36
y
y
y
x y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎪ ⎪

⎪ ⎪


− =
+ =
9 2 2
2 6 4
x y
x y
adalah ⎟⎠

⎜⎝

32
, 58
10
29 .
23. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
− = −
1,5 0,8 7
0,5 0,6 2
x y
x y
dengan
menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 43
Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas
dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh
⎩ ⎨ ⎧
− =
− = −
15 8 70
5 6 20
x y
x y
Dengan metode eliminasi diperoleh

= =
=
− =
− = −
5
113
25
290
25 290
45 24 210
20 24 80
x
x
x y
x y
Selanjutnya nilai
5
x = 113 disubstitusikan ke salah satu persamaan,
misalkan kita substitusikan ke persamaan 5x − 6y = −20 sehingga
diperoleh
13
6
78
6 78
6 20 58
58 6 20
6 20
5
5 58
5 6 20
=


=
− = −
− = − −
− = −
− = − ⎟⎠

⎜⎝

− = −
y
y
y
y
y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
− =
− = −
1,5 0,8 7
0,5 0,6 2
x y
x y
adalah
⎟⎠

⎜⎝
⎛ ,13
5
113 .
24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode
eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut.
5
3
2
9
2
3
=
+
=
+
x y
x y
2
1
3
1
×
×
Diperoleh
Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas
persamaan kedua, yaitu:
2 – 4 4 Unit 2

= =

=
− = −
=
+
=
+
3
2
6
2
6 5
6
2
3 5
6
2
6
3
2
5
6
2
3
6
3
y
y
y y
x y
x y
9
15 6
6 15
5
3
2(3)
5
3
2
=
= −
+ =
=
+
=
+
x
x
x
x
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (9,3).
25. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
3 4 14
2 5 7
x y
x y
adalah sebagai
berikut.
3 4 14
2 5 7
+ =
+ =
x y
x y
5
4
×
×
Sehingga diperoleh

=
− = −
+ =
+ =
6
7 42
15 20 70
8 20 28
x
x
x y
x y
1
5 5
5 7 12
12 5 7
2(6) 5 7
2 5 7
= −
= −
= −
+ =
+ =
+ =
y
y
y
y
y
x y
Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah (6,−1), maka
17
24 7
4 7 4(6) 7( 1)
=
= −
x + y = + −
Pemecahan Masalah Matematika 2 – 45
Daftar Pustaka
Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. Tersedia di:
http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006]
________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia di:
http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007]
________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan
Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di:
http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret 2007]
________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di:
http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]
2 – 4 6 Unit 2
Glosarium
Eliminasi : salah satu metode penyelesaian sistem persamaan
dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam
persamaan-persamaan
Kesamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan
hubungan sama dengan
Konstanta : suku aljabar yang tidak memuat variabel
Koefisien : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel
Persamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan
hubungan sama dengan
Penyelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan variabel
dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan
yang benar
Persamaan linear : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya
adalah 1
Persamaan kuadrat : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya
adalah 2
Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan
hubungan tidak sama dengan
Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada
variabelnya adalah 1
Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada
variabelnya adalah 2
Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear yang terkait satu sama
lain
Substitusi : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem
persamaan dengan cara memasukkan salah satu
variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan
dalam variabel lain ke persamaan yang lain
Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel
dengan variabel
Variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili
sebarang bilangan real

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: