Konsep Dasar Aritmatika

Pemecahan Masalah Matematika 1 – 1
KONSEP DASAR ARITMETIKA
Josef Tjahjo Baskoro
Clara Ika Sari Budhayanti
Pendahuluan
ateri yang akan Anda pelajari pertama kali pada mata kuliah pemecahan
masalah matematika adalah konsep dasar aritmetika. Kompetensi dasar yang
harus dikuasai setelah mempelajari unit ini adalah Anda mampu menggunakan
konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan
serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah
lainnya. Oleh karena itu dalam unit ini akan dipelajari konsep perpangkatan dan akar
bilangan serta barisan dan deret aritmetika dan geometri. Unit ini terbagi menjadi dua
subunit yaitu subunit pertama berisi perpangkatan dan akar bilangan sedangkan
subunit kedua berisi barisan dan deret. Bahan ajar mengenai materi ini, selain
disediakan dalam bentuk bahan ajar cetak juga disediakan dalam bentuk bahan ajar
berbasis web.
Materi yang dibahas pada unit ini merupakan materi prasyarat yang harus
dikuasai untuk mempelajari materi pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu,
pelajari unit ini sampai Anda menguasai dengan baik dan benar. Kerjakan semua
latihan yang diberikan dan lihat kembali hasil pekerjaan Anda tersebut, kemudian
bandingkan dengan pembahasan yang tersedia. Jika mengalami kesulitan, jangan
segan untuk bertanya kepada rekan yang Anda anggap mampu atau dosen pengampu
mata kuliah ini. Setelah Anda selesai mengkaji materi dan berlatih mengerjakan soalsoal,
kerjakan tes formatif yang ada dalam setiap subunit untuk mengukur tingkat
penguasaan Anda terhadap materi. Cobalah Anda kerjakan sendiri, kemudian
bandingkan jawaban Anda tersebut dengan kunci jawaban tes formatif yang ada pada
bagian akhir unit. Jika tingkat penguasaan Anda masih dibawah standar yang
disyaratkan, pelajari kembali materi terutama di bagian yang Anda kurang mengerti.
Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.
M
Unit 1
1 – 2 Unit 1
Subunit 1
Perpangkatan dan Akar Bilangan
Perpangkatan
erpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan
dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai
berikut.
a × a × ….. × a = an
n faktor
Bentuk umumnya adalah an, di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar,
sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh :
• 23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 × 2 × 2 = 8
• 52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 × 5 = 25
Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang
dalam jumlah besar.
Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan.
Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu:
1. (a × b)n = an × bn
2. am × an = am+n
3. am : an = am−n
4. (a : b)n = an : bn
5. (am)n = am×n
6. n
n
a
a− = 1 dengan a ≠ 0
Bukti kebenaran dari sifat-sifat di atas dapat Anda lakukan setelah Anda mempelajari
unit 7 mengenai penalaran induktif dan deduktif. Sementara ini Anda dapat
P
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 3
menggunakan sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan soal-soal mengenai
perpangkatan.
Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun
pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa
bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat)
sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama
ditentukan oleh nilai pangkatnya. Oleh karena itu pembedaan nilai pangkat akan
dibahas secara khusus.
Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif),
bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas
pada bahan ajar ini. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat skema berikut ini.
Gambar 1.1 Skema Pangkat Bilangan
Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila
dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya
merupakan bilangan positif atau negatif.
Contoh :
• 50 = 1
• 1
7
1 0
= ⎟⎠

⎜⎝

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk
perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat
1 – 4 Unit 1
dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif
merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen
menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri.
Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
Contoh:
• 21 = 2

8
1
8
1 1
= ⎟⎠

⎜⎝

Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila
dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu
bilangan itu sendiri.
Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2
kali bilangan itu sendiri. Contoh :
• 32 = 3 × 3 = 9
• 102 = 10 × 10 = 100

25
4
5
2
5
2
5
2 2
= × = ⎟⎠

⎜⎝
⎛ atau
25
4
5 5
2 2
5
2
5
2
2
2 2
=
×
×
= = ⎟⎠

⎜⎝

Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3
kali bilangan itu sendiri.
Contoh :
• 43 = 4 x 4 x 4 = 64
• 103 = 10 x 10 x 10 = 1000

27
8
3
2
3
2
3
2
3
2 3
= × × = ⎟⎠

⎜⎝
⎛ atau
27
8
3 3 3
2 2 2
3
2
3
2
3
3 3
=
× ×
× ×
= = ⎟⎠

⎜⎝⎛
Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap.
Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya,
menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri.
Bentuk umumnya sebagai berikut.
di mana n adalah bilangan bulat positif.
Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu
sendiri. Contoh :

3
1
3
3 11
−1 = =
n 1
n a
a
− =
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 5
• 8
8
1 1
8
1 1
= = ⎟⎠

⎜⎝
⎛ −

3
8
8
3 1
= ⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya
adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku
a
b
b
b a
a = = ⎟⎠

⎜⎝
⎛ − 1 1
Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan
bilangan itu sendiri.
Contoh :

4
1
2
2 12
−2 = =
• 9
9
1 1
3
1
1
3
1
2
2
= =
⎟⎠

⎜⎝

= ⎟⎠

⎜⎝
⎛ −

4
6 1
4
25
25
4
1
5
2
1
5
2
2
2
= = =
⎟⎠

⎜⎝

= ⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat
berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan.
Sembarang bilangan bila dipangkatkan -3 akan menghasilkan bilangan kubik dari
kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh :

27
1
3
3 13
−3 = =

27
64
64
27
1
4
3
1
4
3
1
4
3
3
3 3
3
= = =
⎟⎠

⎜⎝

= ⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛ −
1 – 6 Unit 1
Akar Bilangan
Pada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui
perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen
bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara
umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut.
Definisi : n a (dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila
dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.
n a dapat juga ditulis an
1
Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan
2
1
• 4 4 4 2 2 2
2 1
2
1
2 = = = = ×
• ( )
( ) 3
2
3
2
3
2
9
4
9
4
9
4
9
4
2
2 1
2
2 1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2 = = = = = =
×
×
Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan
3
1
• 8 8 2 3 2
3 1
3
1
3 = = =
×
• ( )
( ) 3
2
3
2
3
2
27
8
27
8
27
8
3
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
1
3
3
3 = = = = =
×
×
Latihan
Selanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda
terhadap materi.
1. Sederhanakanlah perpangkatan berikut ini.
a. (53)2 : (55 × 54)
b. (5−5 ×m× n6)−2 : (5−7 ×m8 × n9 )
2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam pangkat positif.
a. (c−7 ×m5 × n−9)−2 (c−10 ×m8 × n−9 )
b. (c−7 ×m5 × n−9)−2 : (c−10 ×m8 × n−9 )2
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 7
3. Hitunglah perpangkatan berikut ini.
a. 2−3
b. 3
1
8
Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Tentu saja tidak, namun
demikian Anda dapat membandingkan jawaban yang Anda temukan dengan
pembahasan berikut ini.
Pedoman Jawaban Latihan
1. Menyederhanakan perpangkatan.
a. Dengan menggunakan sifat 2 dan 5 diperoleh
(53)2 : (55 × 54 )= 53.2 : 55+4
sehingga diperoleh (53 )2 : (55 × 54 )= 56 : 59 = 56−9 , kemudian menggunakan
sifat 3. Jadi hasil penyederhanaan perpangkatan (53)2 :(55 × 54) adalah
5−3 .
b. Dengan menggunakan sifat 5 diperoleh
(5−5 ×m× n6)−2 : (5−7 ×m8 × n9 )= (510 ×m−2 × n−12 ): (5−7 ×m8 × n9 )
Selanjutnya dengan menggunakan sifat 3 diperoleh perpangkatan yang
lebih sederhana yaitu 510−(−7) ×m−2−8 × n−12−9 = 517 ×m−10 × n−21 .
2. Menyatakan perpangkatan dalam pangkat positif.
a. Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan,
(c−7 ×m5 × n−9)−2 (c−10 ×m8 × n−9 ) akan dinyatakan dalam pangkat positif
sebagai berikut.
(c14 ×m−10 × n18 )(c−10 ×m8 × n−9 ) menggunakan sifat 5
c4 ×m−2 × n9 menggunakan sifat 2
2
4 9
m
c × n
menggunakan sifat 6
b. Analog dengan pengerjaan a, perpangkatan
(c−7 ×m5 × n−9)−2 : (c−10 ×m8 × n−9 )2 akan dinyatakan dalam pangkat
positif berikut ini.
(c14 ×m−10 × n18 ): (c−20 ×m16 × n−18 ) menggunakan sifat 5
c34 ×m−26 × n36 menggunakan sifat 3
1 – 8 Unit 1
26
34 36
m
c n menggunakan sifat 6
3. Menghitung perpangkatan.
a.
8
1
2
2 13
−3 = =
b. 83 3 8 2
1
= =
Materi mengenai perpangkatan dan akar bilangan telah selesai dibahas.
Selanjutnya silahkan Anda kembali mengingat materi apa yang telah Anda pelajari
pada subunit ini dengan membaca rangkuman. Kemudian silahkan Anda
mengerjakan tes formatif 1, agar Anda dapat mengetahui tingkat pemahaman atau
penguasaan materi ini.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 9
Rangkuman
Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu
bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama
a × a × ….. × a = an
n faktor
di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat
atau eksponen. Berikut beberapa sifat operasi perpangkatan yaitu:
1. (a × b)n = an × bn
2. am × an = am+n
3. am:an = am−n
4. (a : b)n = an : bn
5. (am)n = am×n
6. n
n
a
a− = 1 dengan a ≠ 0
Setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan nol, hasilnya merupakan
bilangan 1, sedangkan setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 1, hasilnya
merupakan bilangan itu sendiri.
Akar suatu bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan.
Bentuk umum akar bilangan adalah n a (dibaca : akar n dari bilangan a) yaitu
bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.
n a dapat juga ditulis an
1
1 – 1 0 Unit 1
Tes Formatif 1
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap materi perpangkatan dan akar bilangan dengan cara memberi tanda silang
(X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Berikut ini yang merupakan definisi perpangkatan adalah …….
A. penambahan berulang bilangan yang sama
B. pengurangan berulang bilangan yang sama
C. perkalian berulang bilangan yang sama
D. pembagian berulang bilangan yang sama
2. Bentuk sederhana dari perpangkatan ( )
5
2 3 2
x
x y − −
adalah …….
A. xy6 C. x−5 y −5
B. x5 y −5 D. x−9 y6
3. Bentuk perpangkatan ⎟⎠

⎜⎝

⎟ ⎟⎠

⎜ ⎜⎝



3
3
2
5 3 1
x x
jika dinyatakan dalam pangkat positif
adalah ……
A. 4
1
x
C. 9
3
5
x
B.
59 x
1 D. 9
18
5
x
4. Nilai dari ( ) ⎟⎠

⎜⎝

⎟ ⎟


⎜ ⎜

⎛ ×

− −
3 3
2 3 3
5
1
5
5 5 adalah …….
A. 5−7 C. 53
B. 0 D. 512
5. Bilangan 32 merupakan penyederhanaan dari perpangkatan ……
A. (22 × 2−1)3 C. 20 × 24
B. 44 × 2−3 D. (42 × 2−1 )2
6. Arti dari n a adalah ……
A. a−n
C. a n
1
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 11
B. a n
− 1
D. an
7. Nilai dari ⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟ ⎟


⎜ ⎜


2 3
8
27
9
16 adalah ……
A. 1 C. 6
B. 2 D. 8
8. Bilangan 15 merupakan nilai dari …….
A. 5 75 C. (3 9)(2 10)
B. (35)(3 3) D. (3 125)(4 81)
9. Nilai dari
4
2
3
: 2
3
2
⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟⎠

⎜⎝
⎛ adalah ……
A.
9
4 C.
85
20
B.
72
12 D.
729
64
10. Bilangan yang merupakan nilai dari ⎟
⎟⎠

⎜ ⎜⎝

⎟ ⎟ ⎠

⎜ ⎜


2
2
27
1
4
3 adalah ……
A.
6
1 C.
18
1
B.
12
1 D.
24
1
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci
jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar
minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda
mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari
80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum
Anda kuasai dengan baik.
1 – 1 2 Unit 1
Subunit 2
Barisan dan Deret
arisan dan deret yang akan dibahas di sini khususnya barisan dan deret
aritmetika serta geometri. Dalam subunit ini juga akan dibahas mengenai notasi
sigma yang menjadi dasar untuk penulisan deret.
Barisan
Sebelum kita mempelajari barisan, coba Anda amati pola bilangan pada
himpunan berikut ini.
1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, …}
2. Himpunan bilangan bulat : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, …}
4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, …}
Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan
atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan
dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama.
Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut
barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini.
1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, …
2. Barisan bilangan bulat …, -2, -1, 0, 1, 2, …
3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9, …
4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, …
Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut.
Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya.
Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … yang ditemukan pada tahun
1200 oleh Leonardo Fibonacci.
Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan
dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1 u , suku kedua
dilambangkan dengan 2 u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang
terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
n u ,u ,u ,…,u 1 2 3
Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan.
Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.
B
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 13
Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan
bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku
sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku
awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh
dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal
akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya.
Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk
memahami pengertian barisan aritmetika, coba Anda perhatikan contoh-contoh
barisan berikut ini.
Contoh :
1. Barisan 2, 4, 6, 8, …
2. Barisan 4, 1, -2, -5, …
3. Barisan 3, 2
2
1 , 2, 1
2
1 , …
Pada setiap barisan di atas, apakah Anda bisa melihat bahwa selisih dua suku yang
berurutan selalu tetap (konstan)? Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan
aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan
dengan b. Coba Anda tentukan beda masing-masing barisan pada contoh di atas
kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, … dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku
barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan
tersebut adalah b = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 2 .
2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, … adalah b = 1− 4 = (−2) −1 = (−5) − (−2) = −3.
3. Beda barisan 3, 2
2
1 , 2, 1
2
1 , … adalah
2
2 1
2
11
2
3 2 2 1
2
b = 2 1 − = − = − = − .
Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika,
berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmaetika.
Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b .
Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan
berikut ini.
Gambar 1.2
1 – 1 4 Unit 1
Jadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika
yaitu
u a (n )b n = + −1 .
Latihan 1
Setelah Anda mengetahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika, silahkan
Anda berlatih mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini.
1. Dari barisan aritmetika berikut ini, tentukan rumus suku ke-n dan suku ke 26.
a. 1, 7, 13, 19, …
b. 8, 1, -6, -13, …
c. 10,
4
9 1 ,
2
8 1 ,
4
7 3 , …
2. Jika diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku ke-10 adalah 41 dan suku
ke-5 adalah 21. Tentukan suku ke-125.
Pedoman Jawaban Latihan
Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Coba Anda cocokkan
jawaban yang telah Anda kerjakan dengan pembahasan berikut ini.
1. a. Pada barisan 1, 7, 13, 19, …diketahui suku awal a = 1 dan beda b = 6
maka rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah u = 1+ (n −1)6 n atau
u = 6n − 5 n . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-26 yaitu
6(26) 5 156 5 155 26 u = − = − = .
b. Pada barisan 8, 1, -6, -13, …, diketahui suku awal a = 8 dan beda
b = 1− 8 = −7 maka rumus ke-n dari barisan tersebut adalah
u (n ) n n = 8 + −1 (−7) = 15 − 7 , sehingga dari sini dapat ditentukan suku
ke-26 yaitu 15 7(26) 15 182 167 26 u = − = − = − .
c. Pada barisan 10,
4
91,
2
81,
4
7 3 , …diketahui suku awalnya adalah a = 10
dan beda
4
10 3
4
b = 9 1 − = − . Rumus ke-n dari barisan tersebut adalah
( ) ⎟⎠

⎜⎝
= + − ⎛ −
4
u 10 n 1 3 n atau u ( n) n 43 3
4
= 1 − . Dari sini kita akan tentukan
suku ke-26 yaitu ( ( )) ( )
4
8 3
4
35 35
4
43 3 26 1
4
1
26 u = − = − = − = − .
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 15
2. Diketahui suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika adalah 41 dan suku ke-5
sama dengan adalah 21 maka (10 1) 9 41 10 u = a + − b = a + b = dan
(5 1) 4 21 5 u = a + − b = a + b = . Dari sini diperoleh
a + 9b = 41
a + 4b = 21
5b = 20
b = 4 sehingga a + 4(4) = 21
a = 5
Jadi rumus ke-n barisan tersebut adalah u = 5 + (n −1)4 = 4n +1 n sehingga
suku ke-125 adalah 4(125) 1 500 1 501 125 u = + = + = .
Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan
mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari
yaitu barisan geometri. Sebelum kita mempelajari barisan geometri, kita simak
dahulu cerita berikut ini.
Alkisah di suatu negeri, seorang raja akan memberikan apapun yang diminta sebagai
hadiah kepada juara catur di negeri itu. Juara catur meminta hadiah beras yang
jumlahnya adalah banyak beras di kotak terakhir pada papan catur dengan aturan
banyak beras di setiap kotak papan catur adalah sebagai berikut. Banyaknya beras di
kotak pertama 1 kg, di kotak kedua sebanyak 2 kg, di kotak ketiga sebanyak 4 kg,
dan seterusnya. Sang raja langsung menyetujui permintaan tersebut. Dia berpikir
bahwa permintaan itu sangat sederhana.
Bagaimana Saudara, apakah Anda setuju dengan pemikiran raja tersebut? Apakah
permintaan juara catur tersebut sangat sederhana? Sebenarnya berapa kg beras yang
diminta sebagai hadiah? Kita akan selidiki bersama kasus ini. Kita perhatikan barisan
bilangan yang menyatakan banyak beras yang diminta oleh juara catur yaitu 1, 2, 4,
8, 16, dan seterusnya. Coba Anda perhatikan bahwa setiap dua suku yang berurutan
mempunyai perbandingan yang tetap. Pada barisan itu perbandingan yang tetap
tersebut adalah 2
8
16
2
8
2
4
1
2 = = = = . Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan
dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, … adalah r = 2 . Barisan
yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut
barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk
n u ,u ,u ,…,u 1 2 3 dengan r
u
u
n
n =
−1
dimana r adalah konstanta.
1 – 1 6 Unit 1
Selanjutnya, apakah Anda bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri
tersebut? Kita akan selidiki bersama-sama.
r
u
u =
1
2 sehingga u u r 2 1 =
r
u
u =
2
3 sehingga u u r 3 2 = , karena u u r 2 1 = maka 2
3 1 1 u = u .r.r = u r
r
u
u =
3
4 sehingga u u r 4 3 = , karena 2
3 1u = u r maka 3
1
2
4 1 u = u .r .r = u r
dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu 1
1
= n−
n u u r
Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 1
1
= n−
n u u r .
Kita kembali ke kasus sang raja dan juara catur. Berapa kg beras yang diminta juara
catur? Banyak kotak pada papan catur adalah 64. Jadi kita akan menentukan suku ke-
64 dari barisan 1, 2, 4, 8, 16, …sebagai berikut.
63
63
64 1
64 1
2
1.2
=
=
u = u r −
Ternyata banyak sekali beras yang diminta juara catur yaitu sebanyak 263 kg.
Latihan 2
Saudara, Anda telah belajar mengenai barisan geometri. Pemahaman Anda
terhadap konsep ini akan lebih meningkat jika Anda berlatih menyelesaikan soal-soal
berkaitan dengan barisan geometri. Berikut ini soal tentang barisan geometri,
silahkan Anda menyelesaikan soal-soal tersebut.
1. Tentukan rasio, rumus ke-n dan suku ke-10 dari tiap barisan geometri berikut
ini.
a. 2, 6, 18, 54, …
b. 32, 16, 8, 4, …
c. 4, -8, 16, -32, …
d. 3 , 6, 12 3 , 72, …
2. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 4 dan suku ke-4 sama
dengan 12. Tentukan rasio dan suku ke-8.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 17
Pedoman Jawaban Latihan
Bagaimana Saudara, apakah Anda menemui kesulitan? Untuk melihat seberapa jauh
pemahaman Anda mengenai barisan geometri, silahkan cocokkan penyelesaian yang
Anda buat dengan pembahasan penyelesaian soal berikut ini.
1. a. Rasio pada barisan geometri pada 1a adalah 3
2
r = 6 = . Suku pertama dari
barisan geometri itu adalah 2 1 u = maka rumus suku ke-n = 2.3n−1
n u .
Dari rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 sebagai berikut.
2.310 1 2.39 2.19683 39366
10 u = − = = =
Jadi suku ke-10 barisan geometri 2, 6, 18, 54, …… adalah 39366.
b. Rasio barisan geometri pada 1b adalah
2
1
32
r = 16 = . Suku pertama dari
barisan tersebut adalah 32 1 u = maka rumus suku ke-n barisan tersebut
1
2
32 1

⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
n
n u . Dari rumus tersebut ditentukan suku ke-10 sebagai
berikut.
16
1
512
32 1
2
32 1
2
32 1
10 1 9
10 = ⎟⎠

⎜⎝⎛ =
⎟⎠

⎜⎝
⎛ = ⎟⎠

⎜⎝
= ⎛

u
Jadi suku ke-10 barisan geometri 32, 16, 8, 4, ….. adalah
16
1 .
c. Rasio barisan geometri pada 1c adalah 2
4
8 = −

r = . Suku pertama dari
barisan tersebut adalah 4 1 u = maka rumus suku ke-n 4( 2) 1 − = − n
n u . Dari
rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan sebagai berikut.
4( 2)10 1 4( 2)9 4( 512) 2048
10 = − = − = − = − − u
Jadi suku ke-10 dari barisan 4, -8, 16, -3, dan seterusnya sama dengan -
2048.
d. Rasio barisan geometri pada 1d adalah 2 3
3
6 3
3
r = 6 = = . Suku
pertama barisan adalah 3 1 u = maka rumus rumus suku ke-n
( ) 1 3 2 3 − = n
n u . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan
sebagai berikut.
3(2 3)10 1 3(2 3)9 (29 )( 3)10 512(35 ) 512(243) 124416
10 = = = = = = − u
1 – 1 8 Unit 1
Jadi suku ke-10 dari barisan geometri 3 , 6, 12 3 , 72, …. sama dengan
124416.
2. Diketahui 4 1 u = dan 12 4 u = maka
3
3
3
4 1
1
3
3
4 12
12
=
=
=
− =
r
r
r
u r
Suku ke 8 dari deret adalah
( ) 3 3
1
3 2
7
8 1 3 7
8 1 u = u r − = 4 × 3 = 4× 3 = 4× 3 × 3 = 36 3 .
Bagaimana Saudara, apakah penyelesaian Anda benar semua? Sejauh mana
pemahaman Anda mengenai barisan geometri? Jika menurut Anda, pemahaman
mengenai konsep ini kurang, jangan segan untuk mepelajari kembali konsep ini
sebelum kita mempelajari konsep berikutnya. Konsep yang akan kita pelajari
selanjutnya adalah mengenai konsep notasi sigma yang menjadi landasan dalam
penulisan deret bilangan. Jika Anda sudah siap, kita akan lanjutkan dengan
mempelajari konsep notasi sigma berikut ini.
Notasi Sigma
Notasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang
statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam
menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma,
perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini.
1 + 3 + 5 + 7 + 9
Menurut Anda bagaimanakah pola lima bilangan tersebut? Pola barisan tersebut
adalah sebagai berikut.
Suku ke-1 = 1= 2(1) – 1
Suku ke-2 = 3 = 2(2) – 1
Suku ke-3 = 5 = 2(3) – 1
Suku ke-4 = 7 = 2(4) – 1
Suku ke-5 = 9 = 2(5) – 1
Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k – 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5.
Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan
menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah Σ yang merupakan huruf
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 19
kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh
Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan
menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut.
Σ=

5
1
(2 1)
k
k
Lambang k = 1 disebut batas bawah dan k = 5 disebut batas atas. Secara umum
bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.
n
n
k
k a a a a a + + + + = Σ=
… 1 2 3
1
Latihan 3
Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berikut ini.
1. Tuliskan tiap penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma.
a. 3 + 5 + 7 + 9 +11
b. 1+ 4 + 9 +16 + 25 + 36
c.
11
6
9
5
7
4
5
3
3
1+ 2 + + + +
2. Setiap notasi sigma berikut ini, tuliskan dalam suku-suku penjumlahan
kemudian hitunglah jumlahnya.
a. ( ) Σ=
+
6
1
3 1
i
i
b. ( ) Σ=

5
1
1 4
k
k
c. Σ=
4
1
2
i
i
Pedoman Jawaban Latihan
Cocokkan penyelesaian Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. a. Perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 3 + 5 + 7 + 9 +11 .
Suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1
Suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1
Suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1
Suku ke-4 = 9 = 2(4) + 1
Suku ke-5 = 11 = 2(5) + 1
1 – 2 0 Unit 1
Secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 2k +1
dengan k = 1,2,3,4,5. Jadi notasi sigma untuk penjumlahan
11 9 7 5 3 + + + + adalah Σ=
+
5
1
2 1
k
k .
b. Pola bilangan pada penjumlahan 1+ 4 + 9 +16 + 25 + 36 adalah sebagai
berikut.
Suku ke-1 = 1 = 12
Suku ke-2 = 4 = 22
Suku ke-3 = 9 = 32
Suku ke-4 = 16 = 42
Suku ke-5 = 25 = 52
Suku ke-6 = 36 = 62
Jadi secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah k 2
dengan k = 1,2,3,4,5,6 sehingga notasi sigma dari penjumlahan itu adalah
Σ=
6
1
2
k
k .
c. Coba Anda perhatikan pola bilangan pada penjumlahan
11
6
9
5
7
4
5
3
3
1+ 2 + + + + . Apakah Anda bisa melihat bahwa bilanganbilangan
yang menjadi pembilang merupakan 6 bilangan asli pertama dan
bilangan yang menjadi penyebut merupakan 6 bilangan (asli) ganjil
pertama. Pola bilangan ganjil secara umum adalah 2k −1 dengan
k = 1,2,3,4,5,6 . Jadi penjumlahan
11
6
9
5
7
4
5
3
3
1+ 2 + + + + dapat ditulis
dengan menggunakan notasi sigma yaitu Σ=

6
k 1 2k 1
k .
2. Selanjutnya kita akan menentukan suku-suku penjumlahan dan kemudian
menghitung hasil penjumlahannya.
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
69
4 7 10 13 16 19
3 1 3.1 1 3.2 1 3.3 1 3.4 1 3.5 1 3.6 1
6
1
=
= + + + + +
+ + + + + + + + + + + = + Σ=
i
i
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 21
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
55
3 7 11 15 19
1 4 1 4.1 1 4.2 1 4.3 1 4.4 1 4.5
5
1
= −
= − + − + − + − + −
− + − + − + − + − = − Σ=
k
k
c.
30
2 4 8 16
2 21 22 23 24
4
1
=
= + + +
+ + + = Σ=
i
i
Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan
penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut.
Sifat 1.
A nA
n
i
= Σ
=1
dengan A suatu konstanta
Contoh :
10
5(2)
2 2 2 2 2 2
5
5
1
=
=
+ + + + = Σ=
1442443
i suku
Sifat 2.
Σ Σ
= =
=
n
i
i
n
i
i Au A u
1 1
Contoh :
( )
Σ
Σ
=
=
=
= + + +
= + + +
4
1
1 2 3 4
1 2 3 4
4
1
2
2
2 2 2 2 2
i
i
i
i
u
u u u u
u u u u u
Sifat 3.
Σ( ) Σ Σ
= = =
± = ±
n
i
i
n
i
i
n
i
i i u v u v
1 1 1
Sifat 4.
Σ Σ Σ
= = + =
+ =
n
i
i
n
i m
i
m
i
i u u u
1 1 1
1 – 2 2 Unit 1
Sifat 5.
Σ Σ Σ+
=


=
+
=
= =
1
2
1
1
0
1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i u u u
Anda dipersilahkan mencari contoh penggunaan sifat 3, 4, dan 5.
Deret
Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut
dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Apakah Anda telah mendengar
mengenai cerita tentang matematikawan yang bernama Carl Friederich Gauss?
Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan
100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi
keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia
memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini.
S = 1+ 2 + 3 + … +100
S = 100 + 99 + 98 + … +1
2S = 101+101+101+ … +101
2S = 100(101) = 10100
S = 5050
Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus
jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini.
( )
2
1
n n S = n a +U atau [2 ( 1) ]
2
S 1 n a n b n = + −
Salah satu sifat penting dari n S adalah n n n S − S = u −1 .
Latihan 4
Anda telah mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, maka
sekarang selesaikan soal berikut.
1. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada deret aritmetika …
2
2 2 1
2
11 + + +
2. Jika pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 sama dengan 40 dan
suku ke-8 sama dengan 25, maka tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret
aritmetika tersebut.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 23
Pedoman Jawaban Latihan
Cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut.
1. Dari deret aritmetika …
2
2 2 1
2
11 + + + diketahui suku pertama
2
a = 11 dan
beda
2
b = 1 . Nilai suku pertama dan beda tersebut kita masukkan ke dalam
rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika, sehingga diperoleh:
( )
2
75
2
5 15
2
5 3 9
2
9 1
2
5 2 3
2
10 1 1
2
(10) 2. 11
2
1
[2 ( 1) ]
2
1
=
⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
⎟⎠

⎜⎝
= ⎛ +
⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝
⎛ + ⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
⎥⎦

⎢⎣

− + ⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
S = n a + n − b n
2. Diketahui 40 5 u = dan 25 8 u = sehingga dari sini diperoleh
4 40
40 5
+ =
=
a b
u
7 25
25 8
+ =
=
a b
u
Dari kedua persamaan di atas diperoleh
7 25
4 40
+ =
+ =
a b
a b
5
3 15
= −
− =
b
b
Jika diketahui b = −5 maka
60
20 40
4( 5) 40
=
− =
+ − =
a
a
a
Selanjutnya jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah
1 – 2 4 Unit 1
[ ( )( )]
[ ]
30
6 60 55
.12 60 12 1 5
2
1
=
= −
= + − − n S
Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika yang dimaksud adalah
30.
Anda telah berlatih menyelesaikan soal berkaitan dengan deret aritmetika. Sekarang
Anda akan mempelajari deret geometri. Secara umum, jumlah n suku pertama dari
suatu deret geometri adalah
( )
( ) 1
1


=
r
S a r
n
n dengan r > 1 atau ( )
( r)
S a r
n
n −

=
1
1 dengan r < 1.
Seperti pada deret aritmetika, deret geometri berlaku juga n n n S − S = u −1 .
Latihan 5
Selanjutnya selesaikan soal berikut.
1. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri 1+ 2 + 4 + …
2. Jika jumlah deret geometri 2 + 22 + 23 + … + 2n = 254 maka tentukan nilai n.
Pedoman Jawaban Latihan
Apakah Anda mengalami kesulitan menyelesaikannya? Anda dapat mencocokkan
jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Deret geometri 1+ 2 + 4 + … mempunyai rasio 2 1
1
r = 2 = > maka untuk
menentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut menggunakan rumus
( )
( )
( ) 63
1
64 1
2 1
1. 2 1
1
1
6
6 =

=


=


=
S
r
S a r
n
n
Jadi jumlah 6 suku pertama deret 1+ 2 + 4 + … adalah 63.
2. Deret geometri 2 + 22 + 23 + … + 2n = 254 mempunyai a = 2 dan
2 1
2
22
r = = > . Menentukan nilai n dari deret geometri tersebut sebagai
berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 25
( )
( )
( )
7
128 2
127 1 2
2 1
2
254
2 1
254 2 2 1
1
1
=
=
+ =
= −


=


=
n
r
S a r
n
n
n
n
n
n
Jadi nilai n yang memenuhi deret geometri 2 + 22 + 23 + … + 2n = 254 adalah
7.
1 – 2 6 Unit 1
Rangkuman
Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut
barisan. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan
dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan 1 u , suku kedua
dilambangkan dengan 2 u dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang
terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
n u ,u ,u ,…,u 1 2 3
Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan.
Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Barisan
dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) disebut barisan
aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda. Rumus suku ke-n dari
barisan aritmetika yaitu
u a (n )b n = + −1 .
Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan
disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk
n u ,u ,u ,…,u 1 2 3 dengan r
u
u
n
n =
−1
dimana r adalah konstanta
Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 1
1
= n−
n u u r .
Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari
suku-suku barisan tersebut disebut deret. Dalam penulisan deret akan lebih mudah
menggunakan notasi sigma. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai
berikut.
n
n
k
k a a a a a + + + + = Σ=
… 1 2 3
1
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:
( )
2
1
n n S = n a +U atau [2 ( 1) ]
2
S 1 n a n b n = + −
Salah satu sifat penting dari n S adalah n n n S − S = u −1 .
Sedangkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah:
( )
( ) 1
1


=
r
S a r
n
n dengan r > 1 atau ( )
( r)
S a r
n
n −

=
1
1 dengan r < 1.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 27
Tes Formatif 2
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda
terhadap materi barisan dan deret dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada
salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Suku ke-7 dari barisan ,L
2
,3,2 1
2
4,3 1 adalah …….
A. 0 C. 1
B.
2
1 D.
2
11
2. Rumus suku ke-n barisan −1,4,9,14,K adalah …….
A. n2 C. (n −1).5
B. 5n − 6 D. −1+ (n −1).4
3. Barisan 10, 3, -4, -11, … merupakan …….
A. barisan aritmetika C. deret aritmetika
B. barisan geometri D. deret geometri
4. Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah …….
A. u a (n )b n = + −1
C. r
u
u
n
n =
−1
B. 1
1
= n−
n u u r D. [2 ( 1) ]
2
u 1 n a n b n = + −
5. Barisan ,L
9
,11
3
30,10,3 1 mempunyai …….
A. beda 20 C. rasio 20
B. beda
3
1 D. rasio
3
1
6. Deret 2+5+10+17+26 jika dinyatakan dengan notasi sigma adalah …….
A. Σ +1 2 n C. Σ=
+
n
k
k
1
2 1
B. Σ=
+
5
1
2 1
k
k D. Σ2 + 5 +10 +17 + 26
7. …….
3
1
2 = + Σ=
k
k k
A. 12 C. 20
B. 14 D. 28
1 – 2 8 Unit 1
8. Jumlah deret 2 + 5 + 8 +11+Ladalah…….
A. n2
C.
2
3n2 − n
B. n2 + 2n
D.
2
3n2 + n
9. Jumlah 6 suku pertama deret geometri dengan rumus suku
1
2
30 1

⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
n
n u adalah …….
A.
12
165 C.
16
945
B.
12
660 D.
64
3780
10. Jika diketahui suku ketiga barisan aritmetika adalah 11 dan suku kesepuluh
adalah 39 maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah …….
A. 3n +1 C. 3n + 7
B. 4n −1 D. 4n + 7
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci
jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar
minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda
mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda
kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian
yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 29
Kunci Tes Formatif
Kunci Tes formatif 1
1. C.
2. D. ( ) 4 6 5 9 6
5
2 3 2
x .y .x x .y
x
x y − − −
− −
= =
3. C. 9
3
3
9
6 3
9
3
3
2
3
5
5
.
5 1 5 x
x x x x x
= = = ⎟⎠

⎜⎝

⎟ ⎟⎠

⎜ ⎜⎝







4. C. ( ) ( ) 3
0
1 3
3 3
2 3 3
5
5
5
5
1
5
5 . 5 = = ⎟⎠

⎜⎝

⎟ ⎟


⎜ ⎜

⎛ − −

− −
5. B. 44 × 2−3 = (22)4 × 2−3 = 28 × 2−3 = 25 = 32
6. C.
7. B. 2
2
3
3
4
8
27
9
16 3 2 = ⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝
⎛ = ⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟ ⎟


⎜ ⎜


8. D. (3 125)(4 81)= 5.3 = 15
9. A.
9
4
3
2
3
. 2
3
2
3
: 2
3
2
3
: 2
3
2 4 2 2
4
2
4 4 1
2 = ⎟⎠

⎜⎝
⎛ = ⎟⎠

⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝
= ⎛
⎟ ⎟ ⎟


⎜ ⎜ ⎜


⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝
⎛ = ⎟



⎜ ⎜


⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
10. A.
( ) 6
1
2.3
1
2.3
3
3
1
4
3
27
1
4
3
2
3
2
1
2
1
2 3
1
2
1
2
2 = = =
⎟ ⎟ ⎟


⎜ ⎜ ⎜


⎟ ⎟ ⎟


⎜ ⎜ ⎜


= ⎟
⎟⎠

⎜ ⎜⎝

⎟ ⎟


⎜ ⎜


Kunci Tes Formatif 2
11. C. Barisan ,L
2
,3,2 1
2
4,3 1 merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a
= 4 dan beda b =
2
− 1 , sehingga suku ke-7 adalah
( ) 4 3 1.
2
4 7 1 1 7 = − = ⎟⎠

⎜⎝
u = + − ⎛ −
12. B. Barisan −1,4,9,14,K merupakan barisan aritmetika dengan a = −1 dan
beda b = 5 . Suku ke-n barisan tersebut adalah:
1 – 3 0 Unit 1
5 6
1 5 5
1 ( 1)5
( 1)
= −
= − + −
= − + −
= + −
n
n
n
u a n b n
13. A. Barisan tersebut mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap
(konstan), yaitu -7.
14. B.
15. D. Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio
3
1 .
16. B.
17. C. (12 1) (22 2) (32 3) 2 6 12 20
3
1
2 = + + = + + + + + = + Σ=
k
k k .
18. D. Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan suku awal a = 2 dan
beda b = 3, sehingga jumlah suku ke-n adalah
2
[3 1] 3
2
[4 3 3] 1
2
1
[2.2 ( 1).3]
2
[2 ( 1) ] 1
2
1
n n n n n2 n
S n a n b n n n
+
= + − = + =
= + − = + −
19. C.
1
2
30 1

⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
n
n u diketahui 30 1 u = dan 0
2
r = 1 < maka jumlah 6 suku
pertama dari deret tersebut adalah
16
945
64
60 63
2
1
64
30 1 1
2
1 1
2
30 1 1
6
6 = ⎟⎠

⎜⎝
= ⎛
⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
=
⎟⎠

⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟


⎜ ⎜


⎟⎠

⎜⎝
− ⎛
S =
20. B. Diketahui 2 11 3 u = a + b = dan 9 39 10 u = a + b = . Dari kedua persamaan
tersebut diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 4 sehingga rumus
umum suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah
u = 3 + (n −1)4 = 4n −1 n .
Pemecahan Masalah Matematika 1 – 31
Daftar Pustaka
Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta : Erlangga
________.2004. Aritmetika. [Online}. Tersedia di:
http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/aritmetika.pdf [24 Februari 2007]
1 – 3 2 Unit 1
Glosarium
Akar bilangan : Kebalikan dari perpangkatan
Barisan aritmetika : Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap
(konstan)
Barisan geometri : Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara sukusuku
yang berurutan
Bilangan pokok : Bilangan yang dipangkatkan dalam suatu perpangkatan
Deret : Penjumlahan berurut dari suku-suku barisan
Eksponen : Bilangan pangkat
Notasi sigma : Sebuah notasi yang menyatakan penjumlahan.
Panjang barisan : Bilangan yang menyatakan banyak suku barisan
Suku barisan : Bilangan yang terdapat dalam suatu barisan

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d blogger menyukai ini: